3 Mathematische Hinführung auf die dreidimensionale Ortsbestimmung

Im Folgenden soll zunächst das Funktionsprinzip der Standortbestimmung ganz allgemein aus Laufzeitmessungen erläutert werden. Das dabei benutzte Modell bezieht sich anfangs nur auf eine Dimension und wird schrittweise auf die Ebene und schließlich auf den dreidimensionalen Raum erweitert.

3.1 Position auf einer Geraden bei synchronen Uhren

Man betrachtet im Folgenden eine Gerade, auf der sich ein Sender sowie ein Empfänger befinden. Beide Geräte besitzen synchronisierte Uhren, d.h. sie weisen keinen Zeitunterschied auf und stimmen somit exakt überein. Der Sender strahlt nun in bestimmten Intervallen ein Signal (z.B. eine elektromagnetische Welle) aus, das seine Systemzeit enthält. Der Sender empfängt dieses Signal und kann daraus seinen Abstand x vom Sender bestimmen. Dieser lässt sich durch eine einfache Gleichung ausdrücken :

x ist der Radius des Kreises (mit dem Sender als Mittelpunkt), auf dem sich der Empfänger befinden kann. Da sich der Empfänger jedoch nur auf der Gerade bewegen kann, erhält man für den Ort zwei Punkte, nämlich die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden. Wenn man jetzt noch annimmt, dass sich der Empfänger nur in einer Richtung vom Sender entfernt, so kann man seinen Ort eindeutig bestimmen.

3.2 Position auf einer Geraden bei asynchronen Uhren

Im nächsten Schritt wird auf eine entscheidende Prämisse verzichtet, nämlich die Tatsache, dass beide Uhren synchron laufen. Auf den ersten Blick scheint das soeben noch als trivial geltende Problem unlösbar, da die Signallaufzeit und damit die Entfernung nur mit synchronen Uhren gemessen werden kann. Und synchronisieren lassen sich die Uhren nur, wenn man - umgekehrt - aus dem bekannten Abstand die Laufzeit des Signals errechnet.

Zur Lösung des Problems benötigt man einen zweiten Sender, der sich ebenfalls auf der Gerade befinden muss und mit dem ersten zeitlich synchronisiert ist. Zwischen den beiden Sendern befindet sich der Empfänger, der die Position der Sender und damit auch deren gegenseitigen Abstand kennt. Nun kann man zwei Laufzeiten messen und zwei Gleichungen aufstellen:

wobei t₀ die gesuchte Systemzeit und x₁ bzw. x₂ die unbekannte Entfernung zu den Sendern darstellt. In den zwei Gleichungen befinden sich somit drei Unbekannte, weshalb sie so nicht lösbar ist. Man verfügt jedoch noch über die folgende Gleichung, die man aus der bekannten Entfernung der Sender gewinnt : E = x₁ + x₂. Diese Gleichung sagt aus, dass die Summe der gesuchten Entfernungen zu den jeweiligen Sender den bekannten Abstand E darstellen.

Mit diesen Informationen ist es nun möglich, die beiden Gleichungen zu lösen.

Man erhält die unbekannten Entfernungen des Empfängers von den zwei Sendern. Wenn man diese Entfernungen in eine beliebige der Ausgangsgleichungen einsetzt, erhält man die bis jetzt immer noch unbekannte Systemzeit t_0.

3.3 Einführung des "pseudo-range"-Begriffes

An dieser Stelle sollte nun der Begriff der "pseudo-range"-Messung eingeführt werden, der beim GPS-System Anwendung findet. Von einer "pseudo-range"-Messung spricht man, wenn man die Signallaufzeiten im Vergleich zu einer Empfängeruhr misst, die nicht mit den Senderuhren synchronisiert ist. Die "pseudo ranges", also die scheinbaren Entfernungen, ergeben sich aus dem Produkt von "pseudo"-Zeit und Ausbreitungsgeschwindigkeit des Signals. Von den tatsächlichen Entfernungen unterscheiden sie sich nur durch einen Entfernungsbetrag, der von der Zeitdifferenz, die Sender- und Empfängeruhr aufweisen, abhängt.

In der obigen Formel III. kann man nun statt der absoluten Zeitdifferenz die "pseudo"-Zeit-Differenz verwenden, da folgendes gilt:

Nun stellt sich zwangsläufig die Frage nach dem Sinn der "pseudo-ranges" , da man Zeitdifferenzen auch einfach durch direkten Vergleich der in den empfangenen Signalen enthaltenen Systemzeiten der Sender bestimmen kann. Der Grund für ihre Verwendung liegt in einer höheren erzielbaren Auflösung des Messsystems.

3.4 Ortsbestimmung in der Ebene

Im nächsten Schritt soll der Empfänger nicht mehr auf einer Linie gebunden sein. Dadurch ergibt sich eine zusätzliche Dimension, so dass es sich nun um ein zweidimensionales Problem handelt. Benötigte man bei der Positionsbestimmung auf einer Linie zwei Sender zur exakten Positionsangaben, so kann man nun logisch schließen, dass man einen Sender mehr benötigen wird.

3.4.1 Hyperbeln durch "pseudo-range"-Messungen zu zwei Sendern

Bei zwei Sendern kann man zwei "pseudo-range"-Messungen durchführen. Wenn man die Differenz dieser beiden "pseudo"-Entfernungen bildet, so erhält man eine Information darüber, um wieviel der eine Sender - längenmäßig - weiter entfernt ist als der andere. Im geometrischen Sinn ergibt sich hieraus eine Hyperbel in der Ebene, auf der sich der Sender nun befinden kann.

Bestätigt wird diese Tatsache durch die mathematische Definition der Hyperbel:

"Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte, für die die Differenz der Abstände von zwei festen Punkten (Brennpunkte) konstant ist".

Die Grafik veranschaulicht die resultierende Hyperbel als Summe der möglichen Aufenthaltsorte des Empfängers bei zwei "pseudo-range"-Messungen. (Download des Euklid-Dokuments)

3.4.2 Eindeutige Ortsbestimmung durch einen dritten Sender

Die Vorgehensweise bei drei Sendern ist analog zur vorherigen Betrachtung der Positionsbestimmung auf der Linie. Die drei Uhren der Sender laufen synchron und ihre Signale, die sich in alle Richtungen gleichmäßig ausbreiten, formen Kreise in der Ebene. Man misst nun wieder die auf eine willkürliche Empfängerzeit bezogenen Pseudolaufzeiten und erhält über die bekannte Ausbreitungsgeschwindigkeit der Signale die Pseudoentfernungen.

Die wahren Entfernungen unterscheiden sich bei allen drei Messungen von den "pseudo-ranges" nur durch einen gewissen Entfernungsbetrag L, der zu ihnen addiert werden muss.

Nun folgt, dass sich der Empfänger im Schnittpunkt der drei Kreise mit den Radien (L+pr₁), (L+pr₂) und (L+pr₃) befinden muss.

Die obere Grafik verdeutlicht die Eindeutigkeit der Position in der Ebene bei Pseudolaufzeitmessungen zu drei Sendern. (Download des Euklid-Dokuments)

Mit der Kreisgleichung x² + y² = r² erhält man folgende Gleichungssysteme:

In diesen drei Gleichungen befinden sich drei Unbekannte, nämlich die x-y-Koordinaten des Empfängers sowie der Entfernungsbetrag L, der auf die asynchron laufende Empfängeruhr zurückzuführen ist. x_i,y_i bezeichnet die Koordinaten des Senders i, pr_i dessen Pseudoentfernung vom Sender.

Dieses Gleichungssystem lässt sich nun nicht mehr so einfach lösen wie das des eindimensionalen Problems. Mit Hilfe des Rechners lassen sich die Lösungen dieses nichtlinearen Gleichungssystems jedoch durch Approximation und Iteration hinreichend genau bestimmen.

Mit den nun bekannten Radien kann man den unbekannten Entfernungsbetrag L berechnen. Damit kann nun die Empfängeruhr auf die Systemzeit synchronisiert werden. Dazu muss der Empfänger zur empfangenen Systemzeit eine gewisse Zeit addieren, die genau der Signallaufzeit von Sender zu Empfänger entspricht. Wenn man den Sender 1 zum Uhrenabgleich benutzen möchte, so kennt man zunächst die Entfernung, die das Signal zurückgelegt hat - sie entspricht genau dem Kreisradius r₁. Da sich das Signal geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit v ausbreitet, gilt:

Der zurückgelegte Weg x entspricht in diesem Fall dem Kreisradius r₁ bzw. L + pr₁ (bei Betrachtung des ersten Senders). Damit ergibt sich durch Umformen und Einsetzen folgende Formel für die Systemzeit: . Nun laufen die Uhren synchron.

3.5 Räumliche Positionsbestimmung durch vier Sender

Im nächsten Schritt soll sich der Empfänger im Raum bewegen können. Für seine Positionsbeschreibung sind nun drei Koordinaten(x,y,z) vonnöten. Wegen der unbekannten Systemzeit hat man also vier Unbekannte. Um sie zu ermitteln, braucht man vier Gleichungssysteme und somit auch vier Sender.

Im Folgenden betrachten wir also vier Sender, deren Position im Raum bekannt ist und deren Uhren untereinander synchronisiert sind. Sie senden ihr Ortungssignal in alle Raumrichtungen, es breitet sich also kugelförmig aus. Der Empfänger muss sich dann im Schnittpunkt dieser vier Kugeln befinden. Mathematisch ausgedrückt müssen sich die vier Kugeln mit den Sendern S₁(x₁;y₁;z₁); S₂ (x₂;y₂;z₂); S₃(x₃;y₃;z₃); S₄(x₄;y₄;z₄) als Mittelpunkte sowie den Radien r₁ = L + pr₁ ; r₂ = L + pr₂ ; r₃ = L + pr₃ ; r₄ = L + pr₄ im Empfänger mit den Koordinaten (x;y;z) schneiden.

Die Abbildung zeigt vier Kugeln, die sich aus der räumlichen Signalabstahlung der Empfänger zu einem bestimmten Zeitpunkt ergeben. Mit zunehmender Zeit wachsen auch die Kugelradien an, so dass man eigentlich die Schnittpunkte von nahezu unendlich vielen Kugelscharen betrachtet. Durch die Pseudolaufzeitmessungen zu den Sendern P1 und P2 ergibt sich als mögliche Empfängerposition ein Kreis, dessen Radius zeitabhängig ist. Durch einen dritten Sender P3 kann man die mögliche Empfängerposition weiter eingrenzen. Der Empfänger kann sich nun auf den zwei Schnittpunkten der Kugelscharen des P3 mit P2 und P1 befinden. Erst durch einen vierten Sender kann der Ort exakt bestimmt werden, was in dieser Abbildung leider nicht zu erkennen ist.

Mit der allgemeinen Kugelgleichungen erhält man folgende vier Bedingungen:

Hierbei handelt es sich wieder um ein nichtlineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten, das iterativ mit einigem Rechenaufwand gelöst werden kann.

Dieses Gleichungssystem, das in dem Modell Schritt für Schritt aufgebaut wurde, entspricht weitgehend den "Navigationsgleichungen" des realen GPS-Systems. Diese sind jedoch noch etwas komplizierter, da Fehler, die durch Störungen oder Messfehler entstehen, als weitere Unbekannte in die Gleichung mit eingehen. Außerdem kommt erschwerend hinzu, dass sich die Sender nicht an festen Orten befinden, sondern Bahnen um die Erde beschreiben.